Algebraische Geometrie I by Heinz Spindler

By Heinz Spindler

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Ubungen 1) I = hz1 a1 ; : : :; zm am i K z1; : : :; zn ] ist Primideal und K z1; : : :; zn ] I = K zm+1 ; : : :; zn ]: Ist n = m, so ist I maximal. 2) I = hx2 + 1i R x] ist maximal. Bestimme R x] I. 3) I = hXZ Y 2; XW Y Z; Y W Z 2 i K X; Y; Z; W ]; Idh = fFdh j F 2 I g K x; y; z] x = WX ; y = WY ; z = WZ ist Primideal und K x; y; z] Idh = K z]: I = (Idh )h := ff h j f 2 Idh g: I ist Primideal. Hinweis: Man braucht nur zu zeigen: Sind F; G 2 K X; Y; Z; W ] homogen, und ist FG 2 I, so ist F 2 I oder G 2 I.

C) X Pn hei t quasiprojektive Varietat () 9 projektive Varietat Y Pn, so da X Y o en. d) Jede quasiprojektive Varietat X Pn tragt ebenfalls die Zariski-Topologie: U X o en () 9 V Pn o en mit U = X \ V: X ist ein noetherscher topologischer Raum. Beispiel An ist quasiprojektive Varietat (A n Pn o en). Ist X quasiprojektive Varietat und A X, so hei t A Untervarietat von X () A ist abgeschlossen in X. Ab jetzt werde vorausgesetzt, da K algebraisch abgeschlossen ist. 5 Es sei X An eine a ne Varietat.

R ist Unterring von R X]. Man kann also R X] als R-Algebra auffassen. 12 (Hilbertscher Basissatz) Ist R noethersch, so ist R X] noethersch. Beweis: Sei P I R X] Ideal. 6 0; hei t deg(f) = n der Grad und LC(f) = an der Fur f = ni=0 aiX i ; ai 2 R; an = Leitkoe zient von f. Weiter sei deg(0) := 1; LC(0) := 0; LC(I) := fLC(f) j f 2 I g R die Menge aller Leitkoe zienten von Polynomen in I. Behauptung: LC(I) ist Ideal. Beweis: Sei a = LC(f); b = LC(g); f; g 2 I, n = deg(f) m = deg(g): Es folgt: h := f X n m g 2 I: Ist a 6= b, so ist a b = LC(h) 2 LC(I).

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