Algebraische Zahlentheorie [Lecture notes] by J. Sander et al.

By J. Sander et al.

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51 umfasst die Menge der quadratischen ZPE-Zahlk¨orper“ die Men” ge der euklidischen quadratischen Zahlk¨orper. 1966 bewiesen Baker und Stark un√ abh¨angig voneinander, dass die komplexen quadratischen Zahlk¨orper Q( D) mit ur D = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163 gegeben ZPE-Eigenschaft genau f¨ sind. Es kann bislang nur vermutet werden, dass es unendlich viele reelle quadratische ZPE-Zahlk¨orper gibt. h. es gibt Zahlen a0 ∈ Z und aj ∈ N (j ≥ 1) mit 1 α = a0 ; a1 , a2 , . . = a0 + 1 a1 + a2 + 1 a3 + · · · – Jede quadratische Irrationalzahl α besitzt einen eindeutigen unendlichen periodischen Kettenbruch α = a0 ; a1 , .

Als Z-Modul haben wir OF = Zβ1 ⊕ · · · ⊕ Zβd . 40 Ist B ⊆ OF eine Basis von F u ¨ber Q und ist discr (B) quadratfrei, so ist B eine Ganzheitsbasis von F . Beweis: Sei B = {β1 , β2 , . . , βd } ⊆ OF . 39 besitzt F eine Ganzheitsbasis B1 = {α1 , α2 , . . , αd }. 35 gilt discr (B) = D2 · discr (B1 ) , wobei D = det(qi,k ) mit qi,k ∈ Z definiert durch d (∗) βk = qi,k αi i=1 (k = 1, . . , d) . 37 sind discr (B) ∈ Z und discr (B1 ) ∈ Z. Da discr (B) quadratfrei nach Voraussetzung ist, folgt mit D ∈ Z, dass D = ±1.

D) . i=1 Damit ist auch B Ganzheitsbasis von F . ✷ Bemerkung: Die Umkehrung des Korollars gilt im Allgemeinen nicht:  2 √ √ 1 1 B = {1, 2} ist Ganzheitsbasis von Q( 2), aber discr (B) = det  √ √  2 − 2 √ 2 = (−2 2) = 8 ist nicht quadratfrei. 41 F¨ ur zwei Ganzheitsbasen B1 und B2 eines algebraischen Zahlk¨orpers F gilt discr (B1 ) = discr (B2 ) . 35 haben wir (∗) discr (B2 ) = D2 · discr (B1 ) f¨ ur das dort ausgegebene D, in unserer Situation D ∈ Z. 37 auch die beiden Diskriminanten ganzrational sind, folgt discr (B1 ) | discr (B2 ).

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